第三版

浅谈数学的特点及学习

涂菊华（数学组）

关于数学的特点，虽仍有争议，但传统的或者说比较科学的提法仍是三条：高度的抽象性、逻辑的严密性和应用的广泛性。

１．数学研究的对象本来是现实的，但由于数学仅从空间形式与数量关系方面来反映客观现实，所以数学是逐级抽象的产物。比如三角形形状的实物模型随处可见，多种多样，名目繁多，但数学中的“三角形”却是一种抽象的思维形式（概念），撇开了人们常见的各种三角形形状实物的诸多性质（如天然属性、物理性质等）。因此，学习数学首当其冲的是要学习抽象。而抽象又离不开概括，也离不开比较和分类，可以说比较、分类、概括是抽象的基础和前提。根据数学高度抽象性的特点，数学学法指导要强调比较、分类、概括、抽象等思维方法的指导。

２．数学结论的可靠性有其严格的要求，观察和实验不能作为论证的依据和方法，而是要经过逻辑推理（表现为证明或计算），方能得以承认。比如，“三角形内角和为１８０°”这个结论，通过测量的方法是不能确立的，唯有在欧氏几何体系中经过数学证明才能肯定其正确性（确定性）。在数学中，只有通过逻辑证明和符合逻辑的计算而得到的结论，才是可靠的。事实上，任何数学研究都离不开证明和计算，证明和计算是极其重要的数学活动，而通常所说的“数学思想方法往往是数学中证明和计算的方法。”探求数学问题的解法也就是寻找相应的证明或计算的具体方法。从这一点上来说，证明或计算是任何一种数学思想方法的组成部分，又是任何一种数学思想方法的目标和表述形式。又由于证明和计算主要依靠的是归纳与演绎、分析与综合，所以根据数学逻辑的严密性特点，数学学法指导要重视归纳法、演绎法、分析法、综合法的指导。

３．由于任何客观对象都有其空间形式和数量关系，因而从理论上说以空间形式与数量关系为研究对象的数学可以应用于客观世界的一切领域，即可谓宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。应用数学解决问题，不但首先要提出问题，并用明确的语言加以表述，而且要建立数学模型，还要对数学模型进行数学推导和论证，对数学结果进行检验和评价。也就是说，数学之应用，它不仅表现为一种工具，一种语言，而且是一种方法，是一种思维模式。根据数学应用的广泛性特点，数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型，以及进行检验和评价。

关于数学学习的过程，比较新颖的观点是：“在原有行为结构与认知结构的基础上，或是将环境对象纳入其间，或是因环境作用而引起原有结构的改变，于是形成新的行为结构与认知结构，如此不断往复，直到达成相对的适应性平衡”。通过对这一认识的分析和理解，就数学学法指导而言，可概括出以下三点：

１．行为结构既是学习新知的目的和结果，又是学习新知的基础，因而在数学教学中亦需注重外部行为结构形成的指导。由于这种外部行为主要包括外部实物操作和外部符号活动，所以在数学学法指导中，一要重视学具的操作；二要重视学生的言语表达，就是要给学生尽可能多地提供言语交流的机会，可以是教师与学生间的交流，也可以是学生与学生之间的交流。

２．认知结构同样既是学习新知的目的和结果，也是学习新知的基础，故而数学教学要加强数学认知结构形成的指导。所谓数学认知结构，是指学生头脑中的知识结构按自己的理解深度、广度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。因此，对于学生形成数学认知结构的指导，关键在于不断地提高所呈现的数学知识和经验的结构化程度。

３．在原有行为结构与认知结构的基础上，无论是通过同化，还是通过顺应来获得新知，必须是在一种学习机制的作用下方能实现。而这种学习机制主要就是对学习新知过程的监控和调节，即所谓的元学习。实质上，能否会学，关键就在于这种学习是否建立起来。于是，元学习的指导又成为数学方法指导的重要内容。为此，在数学学法指导中，需要注意：①要传授程序性知识和情境性知识。程序性知识即是对数学活动方式的概括，如遇到一个数学证明题该先干什么，后干什么，再干什么，就是所谓的程序性知识。情境性知识即是对具体数学理论或技能的应用背景和条件的概括，如掌握换元法的具体步骤，获得换元技能，懂得在什么条件下应用换元法更有效，就是一种情境性知识。②尽可能让学生了解影响数学学习（数学认知）的各种因素。比如，学习材料的呈现方式是文字的、字母的，还是图形的；学习任务是计算、证明，还是解决问题，等等。这些学习材料和学习任务方面的因素，都对数学学习产生影响。③要充分揭示数学思维的过程。比如，揭示知识的形成过程、思路的产生过程、尝试探索过程和偏差纠正过程。④帮助学生进行自我诊断，明确其自身数学学习的特征。比如：有的学生擅长代数，而认知几何较差；有的学生记忆力较强而理解力较弱；还有的学生口头表达不如书面表达等。⑤指导学生对学习活动进行评价。如评价问题理解的正确性、学习计划的可行性、解题程序的简捷性、解题方法的有效性等诸多方面。⑥帮助学生形成自我监控的意识。如监控认知方向意识、认知过程意识和调节认知策略意识等等。

转换课堂主体   贴近生活本真

——谈语文自主性教学探索与尝试

高   慧（语文组）

新课程实验与研究一直在探讨自主性教学的问题。有人称，高考制度不改革，现行教学模式是改变不了的。这话有些言之过头，虽说现行教育机制下，为了过高考这一“坎”，不得不放弃很多更益于学生长远的人性化、生活化、能力化的教育方式，但并不是说，一切教育手段与教育理想目标都只能背道而驰。

现行大的社会经济背景下，高考考试模式的改革进行虽说慢，总还在一步步朝着更好的方向推行着，而我们也欣喜地看到，现今考试许多题型的设计更贴近生活，更见能力。不像过去那样单一和模式化，也不是单靠题海战术就能攻克的了。由此更紧迫的要求教学手段上能紧步更新，大胆尝试，而非过去那样“如履薄冰”。

《基础教育课程改革纲要(试行)》提出， “改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”这就是“自主性学习”的内涵。

这就要求教师把课堂转换成与过去完全不同的新场景。

过去是“满堂灌”、“一师言”，教师按照样本教参、教案，从教学目的、教学重点到教学过程，从导入到提问解答到总结，从做题到讲题，规范化的一步步展开。理论上形成严谨有序，环环相扣的课堂模式，实际收到的效果却是：学生要么埋头苦记，要么昏昏欲睡，原本是生动活泼、心灵间对话的语文课变成了我们教师的报告课，了无生趣，学生的学习状态由烦而生厌。

现今要求的是学生在教师的引领下凭借自己的努力，自觉、主动、积极地去获取知识。把学生作为课堂的主体，让他们成为学习知识的真正主人。

这几年来在转换教学结构上做过的努力是不少，比如一周一次的“研究性学习”，让学生自主选择感兴趣的科研课题，自行探究写成论文，与大学学习方式紧密过渡。但可惜的是，这种尝试让学生尝到了自主的甜头，却没能全面展开和深入，以至于“夭折在摇篮中”。

因此，现行教学的困难就在于如何将之付诸实践。

作为一名语文老师，在这方面的探究与实验应当率先展开。一则语文学科有着生活化，自由化，灵活化的特点，没有听不懂的语文，加之生活中一言一行一点一滴都算得语文，就使得语文有着得天独厚的优势，能较好的把自主性和兴趣性还给学生。二则，语文考试虽有一定规律可循，却不需像理科课程那样靠题海战术来实现，它可以留给学生相当多时间从理解生活学会思考上来实现自主，且不误高考教学。因此，从语文课堂展开实验是每个语文老师的责任。《语文课程标准(实验稿)》早已把“积极倡导自主、合作、探究的学习方式”作为语文课程的基本理念之一，更说明了语文教学改革的重要。

最开始的探索总是盲目的。在几年的教学实践中我深深地感到新升学上来的学生那点可怜的好奇、兴趣、主动常常被长时间机械的接受式学习消磨光了。所以我尽力把语文课堂还给学生，让他们觉得语文课是最轻松的，又是最有收获的。

具体有过以下几点尝试：

1.电影观评课。如果生活中缺少观察，那么认知世界是迟钝的。正是这样，我并不反对学生观看有益的电影，让他们接触生活真实面，在真实中体察生活，才能获得深刻的认识。学校也给予了积极的支持。每周末播放一部精心挑选的电影，比如《美丽人生》《阿甘正传》等。看完后，让学生谈体会。可以谈谈剧中人物的人生经历，谈谈人物性格和命运的关系，谈谈导致故事结局的因素等。先漫谈，再由老师总结，点出分析的方法。这样，原本不会思考的同学都被调动起来，参与到其中。原本散乱的想法也逐渐形成清晰的思路。学生也轻松的学会了怎样做出优秀的影评，怎样看待生活中一些现象。

2.自主辩论课。人云亦云只能教出一个个毫无特色的“克隆”版人物。思辩能力就显得尤其重要。大胆展现自己的能力也是时代的呼唤，而辩论最能刺激学生的自我表现与主动思辩。选择一些时新话题比如“名星是否应该有隐私”、“加薪是否有助于反腐”、“善有善报是否正确”、“口才比文才重要”等，题目贴近生活，有利于学生尽早接触真实生活，深刻认识生活。

3.诗歌朗诵课。有文有情才算真正有语文感觉。优美的文字是读出来的。“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”，读得准了，读得多了，味儿就出来了。语文是感觉的东西，所以也要学出“感觉”。而朗诵比赛的形式更激发他们去练，去感受。

4.演讲展评课。说话能力是许多教学中散失的东西。课堂还给学生的一大表现就是要学生会说。学生自主搜寻演讲课题材料，自己练习，在上台时更体现出其临场应变能力。锻炼语言表达能力。

5.作文互评课。给学生写了一大堆评语，学生还不知道是什么意思，看过就算了，收不到实际的效果。学生互评，一则激发其鉴赏评判他人作文的积极性，二则自己同学的作品，更具有借鉴价值，互评探讨的过程中，优点缺点都指出来了，学生也在观看他人文章的基础上建立了自信心和学会了模仿借鉴的写作方法。

6.课题探究课。学语文不能忽略了这一学科的专业知识。针对相应课文内容，做专题研究非常有利于开拓学生眼界，也能与大学体系接轨。《诗界昆仑毛泽东》、《轻灵的诗人徐志摩》、《杜牧的一生》这些人物研究，还有《言不尽的“愁”》、《文化中的荔枝》专题研究，都是对课文内容的补充。先由老师示范，以后都由学生自主查询材料、自主挖掘课题自行选讲。

7.问题讨论课。语文教学的另一方面是文章思想对学生的启示作用。如何启示，成为一大难点。以往，我提出如何将一个课文主题引申到生活上来看待，学生往往一时间想不出许多例子，拓展无法展开。而尝试新教学方式，就得完全放手让学生去解决课文主题引申的问题。比如讲“宽容”，讲“母爱”，讲“自知之明”，每个话题的启示都是无穷的，老师只需点出几个思考角度，而由学生讨论，联系实际加以分析才能收到实效。

 除此之外，还有经典话语互评课，表演课，背诵比赛课，情景感染课等多重设想。

因此，只要老师准备得当，引导得当，语文课堂就将成为丰富自由的课堂。学生不必死抱着课本读到头昏脑涨，不知所云，而是轻松愉快地感受到语文的奥妙。对语文有了“感觉”，也就学会了语文。

当然，尝试中不免有诸多失误之处，比如照顾到多数学生，而少数仍处于彷徨中；比如学生搜寻资料的途径内容偏少，比如学生的胆怯；比如教师准备不够等。使得有些课堂设想并不能很好的实现。

不过，有了尝试一切就有了希望。放手“主动”不再成为空想，“人性化的教育”也渐渐成为可能。

不断的鼓励，不断的激发，不断的放权，终会使旧观念扭转，教学也就不再成为老师个人的事了。“以人的发展为本”的教学理念表明：学生是人本、自由、多元和个体的。这就告诉我们，要全方位地解放学生，不仅要解放学生的大脑，而且要解放学生的眼睛，解放学生的嘴巴。因为课堂教学是教师与学生，学生与学生之间的一种多向的信息交流的动态发展过程，是一种群体的语言交流的过程，教师只有让学生说，学生才能愿说、敢说，并逐步在教师的引导下，把思维成果从“零碎型”过渡到“整合型”再发展到“价值型”。像我们语文课中经常出现的：“老师，我想问……”、“老师，我有个建议！”、“老师，我有不同看法！”、“老师，我有补充！”、“老师，让我来！”以及“同学们，我想请你们……”等提问式、建议式、质疑式、补充式、邀请式等发言，就充分表现了学生自主学习的热情和冲动，形成自主性语文学习亮丽的风景线。

语文本属于生活的。只有贴近生活的教学方式，才是最本真的语文。我们倡导的“自主性”学习，正是基于这个原则。让学生撷取语文之花，让学生从生活中学习语文，再还原给生活。从而达到真正理解语文的内涵，而那时，无论怎样考试，再也不用畏惧。